Jun 6, 2026

miniyuan

数值微分与数值积分（Gauss 型求积公式，数值积分专题，多重积分）

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Gauss 型求积公式

核心思想

Newton-Cotes 公式采用等距节点，在节点数 $n$ 固定时，代数精度最高为 $n$（$n$ 奇数）或 $n-1$（$n$ 偶数）。

Gauss 型求积公式的核心思想是：在节点数 $n$ 固定时，同时优化节点位置 $x_k$ 与权重系数 $A_k$，使得 $2n$ 个待定参数满足 $2n$ 个方程，从而将代数精度提升至 $2n-1$。

对于带权积分 $I = \int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x$，其中权函数满足：

1. $w(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处成立；
2. $\displaystyle\int_a^b w(x)\,\mathrm{d}x>0$，也即 $w(x)$ 不恒为零；
3. 各阶矩存在，也即 $\displaystyle\mu_k=\int_a^b w(x)x^k\,\mathrm{d}x$ 对所有 $k=0,1,2,\dots$ 都有限。

对应 Gauss 型求积公式表示为：

$$I \approx \sum_{k=1}^{n} A_k f(x_k)$$

其中：

$$A_k=\int_a^b w(x)\ell_k(x)\,\mathrm{d}x,\qquad \ell_k(x)=\prod_{\substack{j=1\\j\ne k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}$$

数学基础

定理（Gauss 型求积公式的代数精度）

设 Gauss 型求积公式：

$$\int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

则该公式对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式精确成立的充要条件为：以节点 $x_1,\dots,x_n$ 为零点的 $n$ 次多项式

$$\omega_n(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$$

与任意次数不超过 $n-1$ 的多项式在 $[a,b]$ 上关于权函数 $w(x)$ 正交，即

$$\int_a^b w(x)q(x)\omega_n(x)\,\mathrm{d}x=0,\qquad \forall\,q(x)\in\mathcal{P}_{n-1}$$

证明：

引理（插值型求积的基本性质）：上述 $n$ 点插值型求积公式对任意次数不超过 $n-1$ 的多项式 $p(x)$ 必定精确成立，即

$$\int_a^b w(x)p(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k p(x_k)$$

引理证明：

对 $p(x)$ 而言，插值多项式为：

$$L_{n-1}(x)=\sum_{k=1}^n p(x_k)\ell_k(x)$$

显然 $L_{n-1}(x)\equiv p(x)$。两边乘以 $w(x)$ 积分即得：

$$\int_a^b w(x)p(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n p(x_k)\int_a^b w(x)\ell_k(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k p(x_k)$$

• 充分性（正交 $\Rightarrow$ 对 $\mathcal{P}_{2n-1}$ 精确）：

设正交条件成立。任取 $f(x)\in\mathcal{P}_{2n-1}$，用 $\omega_n(x)$ 对 $f(x)$ 作带余除法：

$$f(x)=q(x)\omega_n(x)+r(x),$$

其中 $\deg q\le n-1$，$\deg r\le n-1$。

两边乘以 $w(x)$ 并积分：

$$\int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x =\underbrace{\int_a^b w(x)q(x)\omega_n(x)\,\mathrm{d}x}_{=0} +\int_a^b w(x)r(x)\,\mathrm{d}x$$

故

$$\int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b w(x)r(x)\,\mathrm{d}x$$

另一方面，在节点 $x_k$ 处，$\omega_n(x_k)=0$，因此：

$$f(x_k)=q(x_k)\omega_n(x_k)+r(x_k)=r(x_k)$$

由于 $r(x)$ 次数 $\le n-1$，由引理知插值型求积对 $r(x)$ 精确：

$$\int_a^b w(x)r(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k r(x_k)=\sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

从而：

$$\int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

故公式对任意 $f\in\mathcal{P}_{2n-1}$ 精确成立。

注：也即高次由正交性确保，低次由插值自动满足。

• 必要性（对 $\mathcal{P}_{2n-1}$ 精确 $\Rightarrow$ 正交）：

设求积公式对所有次数不超过 $2n-1$ 的多项式精确成立。任取 $q(x)\in\mathcal{P}_{n-1}$，构造：

$$f(x)=q(x)\omega_n(x)$$

则 $\deg f\le (n-1)+n=2n-1$，故 $f$ 落在精确成立的范围内。

由精确性：

$$\int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

但右端中 $f(x_k)=q(x_k)\omega_n(x_k)=0$，因此右端为 $0$。于是

$$\int_a^b w(x)q(x)\omega_n(x)\,\mathrm{d}x=0$$

由 $q(x)$ 的任意性，正交条件得证。

定理（截断误差）：

设 $f(x)\in C^{2n}[a,b]$，则 Gauss 型求积公式的余项为：

$$R = \int_a^b w(x)f(x)\,\mathrm{d}x - \sum_{k=1}^n A_k f(x_k) = \frac{f^{(2n)}(\eta)}{(2n)!}\int_a^b w(x)\omega_n^2(x)\,\mathrm{d}x ,\quad a<\eta<b$$

证明：

类似于 Simpson 公式误差估计。

设 $f\in C^{2n}[a,b]$，Gauss 节点为 $x_1,\dots,x_n$。构造 Hermite 插值多项式 $H(x)\in\mathcal{P}_{2n-1}$，使其满足 $2n$ 个插值条件：

$$H(x_k)=f(x_k),\qquad H'(x_k)=f'(x_k),\qquad k=1,2,\dots,n$$

这 $2n$ 个条件唯一确定一个次数不超过 $2n-1$ 的多项式。而 Gauss 型求积公式的代数精度为 $2n-1$，因此：

$$\int_a^b w(x)H(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{k=1}^n A_k H(x_k)=\sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

于是余项可写成：

$$\begin{aligned} R &= \int_a^b w(x)\bigl[f(x)-H(x)\bigr]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_a^b w(x)\cdot f[\underbrace{x_1,x_1,\dots,x_n,x_n}_{2n\text{ 个}},x]\cdot\underbrace{(x-x_1)^2(x-x_2)^2\cdots(x-x_n)^2}_{\omega_n^2(x)} \end{aligned}$$

由于 $f\in C^{2n}$，由重节点差商与导数的关系，存在 $\xi_x\in(a,b)$ 使得：

$$f[x_1,x_1,\dots,x_n,x_n,x]=\frac{f^{(2n)}(\xi_x)}{(2n)!}$$

因此：

$$R=\frac{1}{(2n)!}\int_a^b w(x)\,f^{(2n)}(\xi_x)\,\omega_n^2(x)\,\mathrm{d}x$$

又因为 $f^{(2n)}$ 连续，$w(x)\omega_n^2(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，由加权形式的积分第一中值定理，存在 $\eta\in(a,b)$ 使得：

$$R=\frac{f^{(2n)}(\eta)}{(2n)!}\int_a^b w(x)\omega_n^2(x)\,\mathrm{d}x,\qquad a<\eta<b$$

注：误差公式表明，Gauss 求积的精度随节点数 $n$ 指数级提升，且被积函数光滑性要求较高，需 $2n$ 阶连续可导。

计算公式与推导

区间标准化

任意区间 $[a,b]$ 可通过仿射变换映射到 $[-1,1]$：

$$x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t,\quad t\in[-1,1]$$ $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{+1} g(t)\,\mathrm{d}t,\quad g(t) = f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\right)$$

注：

1. 以下所有特殊 Gauss 公式均在 $[-1,1]$ 或对应标准区间上给出，实际应用时需先进行上述变换。
2. 以下所有特殊 Gauss 公式均取 $w(x) \equiv 1$。

两点 Gauss-Legendre 公式

$$\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x \approx f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

法一（非线性方程组）：

要求对 $f(x)=1,x,x^2,x^3$ 精确成立：

$$\begin{cases} A_1 + A_2 = 2 \\ A_1x_1 + A_2x_2 = 0 \\ A_1x_1^2 + A_2x_2^2 = \frac{2}{3} \\ A_1x_1^3 + A_2x_2^3 = 0 \end{cases}$$

求解较为困难。

法二（正交性推导）：

设 $\omega_2(x) = (x-x_1)(x-x_2) = x^2 + px + q$，要求其与 $1, x$ 正交：

$$\begin{cases} \int_{-1}^1 (x^2+px+q)\,\mathrm{d}x = 0 \\ \int_{-1}^1 x(x^2+px+q)\,\mathrm{d}x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p = 0 \\ q = -\frac{1}{3} \end{cases}$$

解得 $x_{1,2} = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。

代入 $f(x)=1$ 和 $f(x)=x$ 求权重：

$$\begin{cases} A_1 + A_2 = 2 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}}A_1 + \frac{1}{\sqrt{3}}A_2 = 0 \end{cases} \Rightarrow A_1 = A_2 = 1$$

注：仅使用 2 个函数值，即可精确积分到三次多项式，等距 Simpson 公式需 3 个点才能达到同等精度。

Gauss-Legendre 公式

定义 Legendre 多项式：

$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left[(x^2-1)^n\right]$$

对于区间 $[-1,1]$，权函数 $w(x)=1$，有 Gauss-Legendre 公式：

$$\int_0^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

积分节点：$P_n(x)$ 的 $n$ 个实根 $x_k\in(-1,1)$（互异且关于原点对称）。

权重系数：

$$A_k = \frac{2(1-x_k^2)}{\left[n\,P_{n-1}(x_k)\right]^2} = \frac{2}{(1-x_k^2)\left[P_n'(x_k)\right]^2},\quad k=1,2,\ldots,n$$

常见节点与系数表：

$n$	$x_k$	$A_k$
1	$0.0000000000000000$	$2.0000000000000000$
2	$\pm 0.5773502691896257$	$1.0000000000000000$
3	$\pm 0.7745966692414834$	$0.5555555555555556$
	$0.0000000000000000$	$0.8888888888888888$
4	$\pm 0.8611363115940526$	$0.3478548451374538$
	$\pm 0.3399810435848563$	$0.6521451548625461$

注：$n$ 点 Gauss-Legendre 公式代数精度为 $2n-1$。

Gauss-Laguerre 公式

定义 Laguerre 多项式：

$$L_n(x) = \mathrm{e}^{x}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^n\mathrm{e}^{-x}\right)$$

对于半无限区间 $[0,+\infty)$，权函数 $w(x)=\mathrm{e}^{-x}$，有 Gauss-Laguerre 公式：

$$\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

积分节点：$L_n(x)$ 的零点 $x_k\in(0,+\infty)$。

权重系数：

$$A_k = \frac{(n!)^2}{x_k\left[L_n'(x_k)\right]^2}$$

常用节点与系数表：

$n$	$x_k$	$A_k$
2	$0.585786$	$0.853553$
	$3.414214$	$0.146447$
3	$0.415775$	$0.711093$
	$2.294280$	$0.278518$
	$6.289945$	$0.010389$

注： 若实际积分为 $\int_0^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$，可改写为 $\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}[\mathrm{e}^{x}g(x)]\,\mathrm{d}x$ 然后套用公式。

Gauss-Hermite 公式

定义 Hermite 多项式：

$$H_n(x) = (-1)^n\mathrm{e}^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\mathrm{e}^{-x^2}$$

对于全实轴 $(-\infty,+\infty)$，权函数 $w(x)=\mathrm{e}^{-x^2}$，有 Gauss-Hermite 公式：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=1}^n A_k f(x_k)$$

积分节点：$H_n(x)$ 的零点（关于原点对称）。

权重系数：

$$A_k = \frac{2^{n+1}n!\sqrt{\pi}}{\left[H_n'(x_k)\right]^2}$$

常用节点与系数表：

$n$	$x_k$	$A_k$
2	$\pm 0.70710678$	$0.88622693$
4	$\pm 1.65068012$	$0.08131284$
	$\pm 0.52464762$	$0.80491409$

注：若积分为 $\int_{-\infty}^\infty g(x)\,\mathrm{d}x$，可提取 $\mathrm{e}^{-x^2}$ 因子，令 $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}g(x)$。

Gauss-Chebyshev 公式

定义 Chebyshev 多项式：

$$T_n(x)=\cos(n\arccos x)$$

对于区间 $[-1,1]$，权函数 $w(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（端点奇异性），有 Gauss-Chebyshev 公式：

$$\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$$

积分节点：$T_n(x)$ 的零点：

$$x_k = \cos\frac{2k-1}{2n}\pi,\quad k=1,2,\ldots,n$$

权重系数：所有权重相等，$A_k = \dfrac{\pi}{n}$。

注：这是极少数权重显式相等、节点有闭式三角函数表达的 Gauss 公式，计算极其高效。

算法实现

Gauss-Legendre 求积：

import numpy as np
from scipy.special import roots_legendre

def gauss_legendre(f, a, b, n):
    """
    使用 n 点 Gauss-Legendre 公式计算 ∫_a^b f(x) dx
    """
    # 获取标准区间 [-1, 1] 上的节点和权重
    x, w = roots_legendre(n)
    
    # 区间变换: t ∈ [-1,1] → x ∈ [a,b]
    # x = (a+b)/2 + (b-a)/2 * t
    # dx = (b-a)/2 dt
    t = x
    nodes = 0.5 * (a + b) + 0.5 * (b - a) * t
    weights = w * 0.5 * (b - a)
    
    return np.sum(weights * f(nodes))

自适应 Gauss-Legendre：

def composite_gauss_legendre(f, a, b, n, m):
    """
    将 [a,b] 分为 m 个子区间，每个子区间用 n 点 Gauss-Legendre
    """
    h = (b - a) / m
    total = 0.0
    for i in range(m):
        ai = a + i * h
        bi = ai + h
        total += gauss_legendre(f, ai, bi, n)
    return total

注：对于光滑性不足或变化剧烈的函数，复合 Gauss 公式比单纯增加单区间节点数更稳健。

复杂度分析

指标	Gauss	Newton-Cotes
节点数	$n$	$n$
代数精度	$2n-1$	$n$（$n$ 奇数）/ $n-1$（$n$ 偶数）
函数求值次数	$n$	$n$
权重/节点计算	$O(n^2)$（需解特征值/正交多项式零点）	$O(1)$（解析表达式）
适用区间	各种区间	有限区间
端点奇异性	可变换函数或选用 Chebyshev	通常失效

注：Gauss 求积的复杂性在于节点和权重的预计算。不过同一 $n$ 的节点权重只需计算一次。

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数值积分专题

振荡函数的积分

问题： 计算 $\int_a^b f(x)\cos\omega x\,\mathrm{d}x$ 或 $\int_a^b f(x)\sin\omega x\,\mathrm{d}x$，其中 $f(x)$ 非振荡，$\omega \gg 1$。

困难：标准 Newton-Cotes 或 Gauss 公式需要极密节点才能捕捉高频振荡，计算量巨大。

方法：分段线性插值 + 解析积分。

将 $[a,b]$ 分为 $n$ 等分，$h=(b-a)/n$，$x_i=a+ih$。在每个子区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上用线性插值：

$$\varphi(x) = f(x_i) + \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}(x-x_i)$$

利用分部积分，$\int_{x_i}^{x_{i+1}} \varphi(x)\cos\omega x\,\mathrm{d}x$ 有闭式解：

$$\begin{aligned} &\frac{1}{\omega}\left[f(x_{i+1})\sin\omega x_{i+1} - f(x_i)\sin\omega x_i\right] \\ &\quad + \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{\omega^2 h}\left[\cos\omega x_{i+1} - \cos\omega x_i\right] \end{aligned}$$

对 $i$ 求和，第一项为 telescoping sum：

$$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_{i+1})\sin\omega x_{i+1} - f(x_i)\sin\omega x_i}{\omega} = \frac{f(x_n)\sin\omega x_n - f(x_0)\sin\omega x_0}{\omega}$$

第二项经整理（利用三角恒等式）：

$$\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\frac{2\cos\omega x_i(1-\cos\omega h)}{\omega^2 h} - f(x_0)\frac{\cos\omega x_1-\cos\omega x_0}{\omega^2 h} - f(x_n)\frac{\cos\omega x_n-\cos\omega x_{n-1}}{\omega^2 h}$$

误差估计：

$$\left|\int_a^b f(x)\cos\omega x\,\mathrm{d}x - \int_a^b \varphi(x)\cos\omega x\,\mathrm{d}x\right| \le \frac{b-a}{8}h^2 \max_{x\in[a,b]}|f''(x)|$$

注：误差界与 $\omega$ 无关，这是该方法的核心优势。当 $\omega$ 很大时，若 $h$ 固定，经典方法误差随 $\omega$ 增长，而本方法误差保持 $O(h^2)$。

奇异函数的积分

问题：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 内有奇异点，例如 $x=a$ 处 $f(x)\to\infty$。

可积条件：设 $f(x) = \dfrac{\varphi(x)}{(x-a)^\mu}$，其中 $0<\mu<1$，$|\varphi(x)|\le M$。若 $\mu\ge 1$，积分发散。

方法一（积分域分解 + Taylor 展开）：

将积分分解：

$$I = \underbrace{\int_a^{a+\varepsilon} \frac{\varphi(x)}{(x-a)^\mu}\,\mathrm{d}x}_{I_1} + \underbrace{\int_{a+\varepsilon}^b \frac{\varphi(x)}{(x-a)^\mu}\,\mathrm{d}x}_{I_2}$$

对 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处 Taylor 展开：

$$\varphi(x) = \sum_{k=0}^p \frac{(x-a)^k}{k!}\varphi^{(k)}(a) + \frac{(x-a)^{p+1}}{(p+1)!}\varphi^{(p+1)}(\xi)$$

则 $I_1$ 可解析计算：

$$I_1 \approx \varepsilon^{1-\mu}\sum_{k=0}^p \frac{\varepsilon^k \varphi^{(k)}(a)}{k!(k+1-\mu)}$$

误差项：

$$|R| \le \frac{\varepsilon^{p+2-\mu}}{(p+1)!(p+2-\mu)}\max_{x\in[a,a+\varepsilon]}|\varphi^{(p+1)}(x)|$$

$I_2$ 无奇异性，可用标准数值积分。

方法二（奇异性消去）：

构造：

$$I = \int_a^b \frac{\varphi(x)-\varphi_p(x)}{(x-a)^\mu}\,\mathrm{d}x + \int_a^b \frac{\varphi_p(x)}{(x-a)^\mu}\,\mathrm{d}x$$

其中 $\varphi_p(x) = \sum_{k=0}^p \frac{(x-a)^k}{k!}\varphi^{(k)}(a)$。第一项分子为 $(x-a)^{p+1}$ 阶，消去奇异性；第二项解析可积。

注：实际计算中，若 $\varphi(x)$ 的 Taylor 系数难以获取，也可采用变量替换法，如 $x=a+t^r$ 选择 $r$ 使得奇异性消失。

无限积分域函数的积分

问题：计算 $I = \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$。

可积条件：充分条件为 $\exists\mu>0$ 使得 $\lim_{x\to+\infty} x^{1+\mu}f(x) = C$（有限）。

方法一（截断 + 渐进展开）：

选取充分大的 $b$：

$$I = \underbrace{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}_{\text{标准数值积分}} + \underbrace{\int_b^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x}_{\text{渐进近似}}$$

对 $x\to+\infty$ 做渐进展开：

$$f(x) \sim x^{-(1+\mu)}\left(c_0 + \frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{x^2} + \cdots\right)$$

则尾项可逐项解析积分。

方法二（变量替换）：

令 $x = 1/t$（假设 $a>0$）：

$$I = \int_0^{1/a} f\left(\frac{1}{t}\right)\frac{1}{t^2}\,\mathrm{d}t$$

转化为有限区间积分，若 $t=0$ 处出现奇异性，则按奇异函数积分方法处理。

方法三（Gauss-Laguerre / Gauss-Hermite）：

若被积函数可表示为 $\mathrm{e}^{-x}f(x)$ 或 $\mathrm{e}^{-x^2}f(x)$，直接套用对应 Gauss 公式。

注：截断点 $b$ 的选择需平衡截断误差与计算成本。一般要求 $|f(b)|\cdot b \ll \varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 为目标精度。

自适应数值积分

核心思想：根据被积函数的局部变化动态调整子区间大小。

• 函数变化剧烈（导数大、曲率大）：细分小区间，使用更密节点。
• 函数变化平坦：使用较宽区间。

目标：在给定误差容限 $\varepsilon$ 下，最小化总函数求值次数。

典型策略（以自适应 Simpson 为例）：

对区间 $[a,b]$，分别计算：

• $S(a,b)$：单区间 Simpson 近似
• $S(a,c) + S(c,b)$：二分后 Simpson 近似，$c=(a+b)/2$

若 $|S(a,b) - [S(a,c)+S(c,b)]| < 15\varepsilon/2$，接受结果； 否则递归处理 $[a,c]$ 和 $[c,b]$，误差容限各分配 $\varepsilon/2$。

多重积分

矩形区域上的二重积分：

$$\iint_S f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x,\quad S=[a,b]\times[c,d]$$

累次积分法：对内层和外层分别应用一维求积公式。

复合 Simpson 公式示例：

内层对 $y$ 使用 Simpson：

$$\int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y \approx \frac{d-c}{6}\left[f(x,c) + 4f\left(x,\frac{c+d}{2}\right) + f(x,d)\right]$$

外层对 $x$ 再次使用 Simpson，展开后得到九点权重分布：

$$\begin{aligned} &\frac{(b-a)(d-c)}{36}\Big[f(a,c) + 4f\left(\frac{a+b}{2},c\right) + f(b,c) \\ &\quad + 4f\left(a,\frac{c+d}{2}\right) + 16f\left(\frac{a+b}{2},\frac{c+d}{2}\right) + 4f\left(b,\frac{c+d}{2}\right) \\ &\quad + f(a,d) + 4f\left(\frac{a+b}{2},d\right) + f(b,d)\Big] \end{aligned}$$

注：高维积分（$d\ge 3$）时，一维公式直接张量积会导致维度灾难（节点数随 $n^d$ 增长）。此时需采用改进方法。

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复杂度与方法对比总表

积分类型	推荐方法	核心优势	主要限制
光滑函数，有限区间	Gauss-Legendre	$2n-1$ 代数精度，节点少	需预计算节点权重
端点 $1/\sqrt{1-x^2}$ 奇异	Gauss-Chebyshev	节点闭式，权重相等	特定权函数
半无限区间 + $\mathrm{e}^{-x}$	Gauss-Laguerre	天然处理无限域	需提取指数因子
全实轴 + $\mathrm{e}^{-x^2}$	Gauss-Hermite	量子力学/统计常用	需提取指数因子
高频振荡 ($\omega\gg 1$)	Filon 型/分段线性插值	误差与 $\omega$ 无关	需 $f(x)$ 低阶导数有界
代数奇异 ($x^{-\mu}$)	奇异性消去 / 域分解	将奇异部分解析处理	需 Taylor 展开系数
无限区间一般函数	截断 + 渐进 / 变量替换	灵活通用	截断点选取需经验
局部剧烈变化	自适应求积	误差均匀分布，省节点	递归开销，实现复杂
矩形区域二重积分	累次 Simpson / Gauss	利用一维公式直接推广	高维时维度灾难